朗伯比尔定律公式（朗伯比尔定律计算例题）

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昨天有同学建议让我附上测试光学带隙的方法，那么他来了！

禁带宽度(Bandgap)是指一个带隙宽度(单位是电子伏特(ev))，固体中电子的能量是不可以连续取值的，而是一些不连续的能带，要导电就要有自由电子或者空穴存在，自由电子存在的能带称为导带（能导电），自由空穴存在的能带称为价带（亦能导电）。被束缚的电子要成为自由电子或者空穴，就必须获得足够能量从价带跃迁到导带，这个能量的最小值就是禁带宽度。禁带宽度，符号为Eg；导带的最低点和价带的最高点之间的能级差。

半导体材料中的电子吸收光子的能量，从能量较低的状态跃迁到能量较高的状态。这种跃迁可以发生在：
1、不同的能带之间；
2、同一能带的不同状态之间；
3、禁带中的分立能级之间；
4、禁带中的分立能级和能带之间。以上各种吸收引起不同的吸收过程。

第一种测试方式，对于本征吸收直接带隙材料的带隙有效。

在半导体中。最主要的吸收过程是电子由价带向导带的跃迁所引起的光吸收，称为本征吸收或基本吸收．这种吸收伴随着电子-空穴对的产生，使半导体的电导率增加，即产生光电导。显然，引起本征吸收的光子能量必须等于或大于禁带宽度，即 E>hν=Eg

对应的波长称为本征吸收限。根据上式，可得出本征吸收长波限的公式为

射线（光）的能量由E＝hν确定，其中h为普朗克常量，ν射线的频率，λ为波长，公式中叫做吸收边，而C=νλ,所以

E=hν=hC/λ=1240/λ

吸收系数对光子能量（或波长）的依赖关系称为吸收谱。本征吸收边可在吸收谱中明显地表现出来。吸收系数曲线在短波端陡峭地上升，是半导体吸收谱突出的一个特点。它标志着本征吸收的开始。通常把吸收边附近的吸收谱称为吸收边（也有文章中硕士吸收限）。它相应于电子由价带顶附近到导带底附近的跃迁。

我们以退火后的ZnO的薄膜为例：

那么他的吸收边应该是：

第一种测试方法来自于中国科学院北京化学所测试中心。

固体物理学的量。SI单位:J(焦〔耳〕)。并用的非SI单位:eV(电子伏)。1 eV = (1.602 177 33±0.000 00049)×10^-19 J。

1.这个图正确的应该是（ahv）^2~hv的曲线图，其中a为吸收系数，a=-1/d*lnT，d为厚度（一般测禁带宽度时，使用的是薄膜样品，所以d即为膜厚）；

2.图中的直线并不是直接通过测试的数据得到的，而是先画出（ahv）^2~hv的曲线图后，采用外推法，在曲线的拐点处做切线，外推至x轴，即f（（ahv）^2）=0时，该直线与x轴交点处的值，即为该样品的禁带宽度。这就是图中所对应的3点几eV;

3. hv是光子能量，不是禁带宽度，在这个图中，只表示的是曲线部分的横坐标，与直线无关O(∩_∩)O~。

半导体材料光学带隙的计算

禁带宽度是半导体的一个重要特征参量，其大小主要决定于半导体的能带结构，即与晶体结构和原子的结合性质等有关。禁带宽度的大小实际上是反映了价电子被束缚强弱程度的一个物理量，也就是产生本征激发所需要的最小能量。禁带宽度可以通过电导率法和光谱测试法测得,为了区别用电导率法测得禁带宽度值，用光谱测试法测得的禁带宽度值又叫作光学带隙。

下面以光谱测试法为例介绍半导体材料光学带隙的计算方法：

对于半导体材料，其光学带隙和吸收系数之间的关系式为[1]：

αhν=B(hν-Eg)m （ 1）

其中 α 为摩尔吸收系数,h 为普朗克常数，ν 为入射光子频率， B 为比例常数，Eg为半导体材料的光学带隙， m 的值与半导体材料以及跃迁类型相关：

（ 1）当 m=1/2时，对应直接带隙半导体允许的偶极跃迁；
（ 2） 当 m=3/2 时，对应直接带隙半导体禁戒的偶极跃迁；
（ 3） 当 m=2 时，对应间接带隙半导体允许的跃迁；
（ 4） 当 m=3 时，对应间接带隙半导体禁戒的跃迁。

下面介绍两种禁带宽度计算公式的推导方法：

推导 1：根据朗伯比尔定律可知：

A=αb c (2)

其中 A 为样品吸光度，b 为样品厚度，c 为浓度，其中bc为一常数，若B1=(B/bc)1/m，则公式(1)可为：

(Ahν)1/m=B1(hν-Eg) (3)

根据公式(3),若以hν值为x 轴，以(Ahν)1/m 值为y 轴作图，当 y=0 时，反向延伸曲线切线与x 轴相交，即可得半导体材料的光学带隙值 Eg。

推导 2：根据K-M 公式可知：

F(R∞)=(1- R∞)2/2 R∞=K/S (4)

其中 R∞为绝对反射率(在日常测试中可以用以硫酸钡做参比测得的样品相对反射率代替[2])，K 为吸收系数， S 为散射系数。若假设半导体材料分散完全或者将样品置于600 入射光持续光照下可认为 K=2α[3]。因在一定温度下样品散射系数为一常数，假设比例常数为 B2，,我们可通过公式(4)和公式(1)可得：

(F(R∞) hν)1/m=B2(hν-Eg) (5)

根据公式(5)，若以hν值为x 轴，以 (F(R∞) hν)1/m 值为 y 轴作图，当y=0 时，反向延伸曲线切线与 x 轴相交，即可得半导体材料的光学带隙值Eg。

推导方法 1和推导方法2分别为通过测量样品吸收光谱和反射光谱值来计算半导体材料的光学带隙。下面介绍以直接光学带隙半导体材料（m=1/2） S1 和S2 为例，通过推导方法 1 计算半导体材料的光学带隙值。首先测得S1 和 S2 的紫外吸收光谱，如图1 所示。然后通过吸收光谱做(Ahν)2-hν 线性关系图，如图2 所示。沿曲线做反向切线至 y=0 相交，所得值为光学带隙值，由图2 即可得Egs1=3.0ev; Egs2=3.1ev。

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