i矩阵表示什么（矩阵的秩8个性质及证明）

前言

本篇主要学习下线代中向量与矩阵相关的知识，包括多维向量内积与机器学习中递推的关系，矩阵的基础概念和计算等；在书中也只提到与机器学习有关联的基础知识点，整体难度不算高；

正文

向量的定义

假设现在有两个点 A和B，那么 A->B 就是一个 有位置 （A的位置） 有方向 （A指向B的方向） 有大小 （AB线段的长度）的向量

一个向量可以由如下三种方式表达

坐标表示

如果我们建立一个直角坐标系，把A点移动到坐标原点，B点相对A点的位置不变，那么B点的坐标就可以看作是向量 A->B 的坐标表示

也可以把这个定义推广到三维甚至N维直角坐标系上，下图表示 A(1, 1, 1) 向量

向量的大小

向量的大小用 |a| 表示，与绝对值符号相同

向量的大小即向量的长度，通过直角坐标系可以很方便的理解，比如 a = (3, 4)，根据勾股定理，该向量的大小就是 5

再推广到三维，a = (1, 2, 2)，那么向量 a 的大小就是：

向量内积

向量的内积定义为两个向量的大小乘以向量夹角的 cos

a和b，只要有一个为0，那么内积就是0

同理，这种解法也适用于三维向量

柯西不等式

因为任意的θ都会另 -1 < cos(θ) < 1，所以很容易推出下面的不等式

结合这个不等式，可以得到如下三种情况

• 两个向量方向相反时，内积最小
• 两个向量方向相同是，内积最大
• 两个向量方向夹脚在 0 ~ 180° 时，内积大小会从最大到最小

书中特意提到，第一条性质（两个向量方向相反时，内积最小） 是日后梯度下降法的基本原理

内积的坐标表示

还是首先以二维直角坐标系为例，内积可以以坐标的形式进行计算

三维向量一样有这样的性质

多维向量一般化（重点）

关于推导，我也尝试用我撇脚的数学推算过，算了一两页纸发现越算越复杂，推不出来，找了个别人的推导过程，有兴趣的可以研究下

看到这个向量内积公式，有没有想到之前提到的神经单元的加权输入：

就可以表现为两个向量的内积加上偏置，向量 w = (w1, w2, w3, w4, …)，x = (x1, x2, x3, x4, …)，即：

矩阵的定义

矩阵是数的阵列，横排为行，竖排为列，行数与列数相同称为 方阵 （类比正方形）

以及如下图X,Y所示的 行向量和列向量

可以定义一个 m行n列的向量，第 i 行 j 列的元素用 aij 表示，

单位矩阵

单位矩阵是一个特殊的矩阵，矩阵的斜对角线元素(aii)都是1，其他元素都是0

矩阵的运算

矩阵比较、和差常数积

A和B相等的含义是两个矩阵对应的元素包括行数列数完全相等

两个矩阵的和、差、常数倍都符合四则运算，和与差都是相同位置的元素直接进行加减，常数倍的乘法直接乘到对应的元素中去，如下：

矩阵乘积（重点）

把 向量A的i行 看作行向量， 向量B的j列 看作列向量， 其内积 作为结果的 i行j列 的元素

比如，两个向量乘积计算过程如下：

哈达玛积

Hadamard积适用于两个相同形状的矩阵，符号的含义是相同行数相同列数的数相乘，作为新矩阵对应函数和列数的值

下图表现了哈达玛积的计算过程，很直观

转置矩阵

转置矩阵是将矩阵A的i行j列的元素转换为新矩阵的j行i列，转置矩阵在原矩阵左上角加上一个小t表示

总结

本片博客主要介绍向量和矩阵的基础知识，其中多维向量内积与神经单元加权输入的关系（w = (w1, w2, w3, w4, …)，b = (x1, x2, x3, x4, …)，则 z = w*x + b）以及矩阵的乘积计算（i行j列 = A的i行向量与B的j列向量内积）是重点。